Скрипт предназначен для решения системы уравнений с тремя неизвестными по правилу Крамера.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 |
<?php /**************** 4x + 7y + 2z = 34 3x + 1y + 5z = 21 8x + 2y + 6z = 52 ****************/ $matrix[0] = array(4, 7, 2); $matrix[1] = array(3, 1, 5); $matrix[2] = array(8, 2, 6); $b[0] = 34; $b[1] = 21; $b[2] = 52; // Решаем уравнение list($x, $y, $z) = solve($matrix, $b); echo "Решение<br />"; echo "X = $x<br />"; echo "Y = $y<br />"; echo "Z = $z<br />"; // Проверка echo 4 * $x + 7 * $y + 2 * $z; echo "<br>"; echo 3 * $x + 1 * $y + 5 * $z; echo "<br>"; echo 8 * $x + 2 * $y + 6 * $z; function solve($matrix, $b) { // Вычисляем детерминант исходной матрицы $determinant = determinant($matrix); // Формируем детерминант для переменных for($i = 0; $i < 3; $i++) { $xd[$i] = $matrix[$i]; $xd[$i][0] = $b[$i]; $yd[$i] = $matrix[$i]; $yd[$i][1] = $b[$i]; $zd[$i] = $matrix[$i]; $zd[$i][2] = $b[$i]; } $x = determinant($xd) / $determinant; $y = determinant($yd) / $determinant; $z = determinant($zd) / $determinant; return array($x, $y, $z); } // Детерминант трехмерной матрицы function determinant($m) { return $m[0][0] * ($m[1][1] * $m[2][2] - $m[2][1] * $m[1][2]) - $m[0][1] * ($m[1][0] * $m[2][2] - $m[2][0] * $m[1][2]) + $m[0][2] * ($m[1][0] * $m[2][1] - $m[2][0] * $m[1][1]); } ?> |
Напоминаем, что если детерминант матрицы равен 0, это означает, что система уравнений линейно зависима и получить единственное решение невозможно.
При решении систем с более чем тремя переменными, следует прибегать к более сложным алогиритмам. Одним из таких алгоритмов является метод Гаусса-Жордана, который часто используют и при ручном вычислении систем линейных уравнений. Ниже приведена возможная реализация для все той же системы с тремя неизвестными, но в отличие от представленного выше скрипта, здесь можно увеличивать количество неизвестных в системе.
Метод Гаусса-Жордана
/****************
4x + 7y + 2z = 34
3x + 1y + 5z = 21
8x + 2y + 6z = 52
****************/
$matrix[0] = array(4, 7, 2);
$matrix[1] = array(3, 1, 5);
$matrix[2] = array(8, 2, 6);
$b[0] = 34;
$b[1] = 21;
$b[2] = 52;
// Решаем уравнение
list(list($x, $y, $z)) = gaussj($matrix, $b);
echo “Решение
“;
echo “X = $x
“;
echo “Y = $y
“;
echo “Z = $z
“;
// Проверка
echo 4 * $x + 7 * $y + 2 * $z;
echo ”
“;
echo 3 * $x + 1 * $y + 5 * $z;
echo ”
“;
echo 8 * $x + 2 * $y + 6 * $z;
// Решение системы линейных уравнений
// методом Метод Гаусса-Жордана
function gaussj($a, $b)
{
$n = count($a);
for($j = 0; $j < $n; $j++)
{
$ipiv[$j] = 0;
}
for($i = 0; $i < $n; $i++)
{
$big = 0;
for($j = 0; $j < $n; $j++)
{
if($ipiv[$j] != 1)
{
for($k = 0; $k < $n; $k++) { if($ipiv[$k] == 0) { if(abs($a[$j][$k]) >= $big)
{
$big = abs($a[$j][$k]);
$irow = $j;
$icol = $k;
}
}
else if($ipiv[$k] > 1)
{
return “Матрица сингулярна”;
}
}
}
}
$ipiv[$icol] = $ipiv[$icol] + 1;
if ($irow != $icol)
{
for($l = 0; $l < $n; $l++)
{
$dum = $a[$irow][$l];
$a[$irow][$l] = $a[$icol][$l];
$a[$icol][$l] = $dum;
}
$dum = $b[$irow];
$b[$irow] = $b[$icol];
$b[$icol] = $dum;
}
$indxr[$i] = $irow;
$indxc[$i] = $icol;
if($a[$icol][$icol] == 0) return “Матрица сингулярна”;
$pivinv = 1 / $a[$icol][$icol];
$a[$icol][$icol] = 1;
for($l = 0; $l < $n; $l++) $a[$icol][$l] = $a[$icol][$l] * $pivinv;
$b[$icol] = $b[$icol] * $pivinv;
for($ll = 0; $ll < $n; $ll++)
{
if($ll != $icol)
{
$dum = $a[$ll][$icol];
$a[$ll][$icol] = 0;
for($l = 0; $l < $n; $l++) { $a[$ll][$l] = $a[$ll][$l] – $a[$icol][$l] * $dum; } $b[$ll] = $b[$ll] – $b[$icol] * $dum; } } } for($l = $n -1; $l >= 0; $l–)
{
if($indxr[$l] != $indxc[$l])
{
for($k = 1; $k < $n; $k++) { $dum = $a[$k][$indxr[$l]]; $a[$k][$indxr[$l]] = $a[$k][$indxc[$l]]; $a[$k][$indxc[$l]] = $dum; } } } // $b – решение уравнения // $a – обратная матрица return array($b, $a); } ?>
Функция gaussj() принимает два параметра: квадратную матрицу коэффециентов $a и вектор свободных членов $b. На выходе также возвращаются два решения: $b содержит значения переменных, а $a – обратную матрицу. Если задача состоит только в нахождении обратной матрицы можно воспользоваться решением из темы Как найти обратную матрицу?